151107 初版 151107 更新

周期関数

関数 f(x) について
任意の x に対して
f(x + p) = f(x) が成り立つ 定数 p が存在するとき,
f(x) は周期関数であるという。
p のうち,正の数で最小のものを 周期 という。
f(x) = sin x として,-π ≦ x ≦ 2π まで,有名な値を表にする。
x -π … \(-\dfrac{5}{6}\pi\) … \(-\dfrac{3}{4}\pi\) … \(-\dfrac{2}{3}\pi\) … \(-\dfrac{\pi}{2}\) … \(-\dfrac{\pi}{3}\) … \(-\dfrac{\pi}{4}\) … \(-\dfrac{\pi}{6}\) … 0
sin x 0 ↘ \(-\dfrac{1}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ -1 ↗ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{1}{2}\) ↗ 0
x 0 … \(\dfrac{\pi}{6}\) … \(\dfrac{\pi}{4}\) … \(\dfrac{\pi}{3}\) … \(\dfrac{\pi}{2}\) … \(\dfrac{2}{3}\pi\) … \(\dfrac{3}{4}\pi\) … \(\dfrac{5}{6}\pi\) … π
sin x 0 ↗ \(\dfrac{1}{2}\) ↗ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ 1 ↘ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(\dfrac{1}{2}\) ↘ 0
x π … \(\dfrac{7}{6}\pi\) … \(\dfrac{5}{4}\pi\) … \(\dfrac{4}{3}\pi\) … \(\dfrac{3}{2}\pi\) … \(\dfrac{5}{3}\pi\) … \(\dfrac{7}{4}\pi\) … \(\dfrac{11}{6}\pi\) … 2π
sin x 0 ↘ \(-\dfrac{1}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ -1 ↗ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{1}{2}\) ↗ 0
グラフの概形は
f(x) = sin x の場合 周期は 2π である。
この場合,最大値をとる x についての 最小の長さといってもよい。