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はさみうちの原理
例1:
\(a_n=\dfrac{1}{n}\sin \dfrac{n\pi}{6}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
| \(\sin\dfrac{n\pi}{6}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
1 |
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
\(\dfrac{1}{2}\) |
0 |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
-1 |
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
0 |
\(\dfrac{1}{2}\) |
| an |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) |
\(\dfrac{1}{3}\) |
\(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\) |
\(\dfrac{1}{10}\) |
0 |
\(-\dfrac{1}{14}\) |
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{16}\) |
\(-\dfrac{1}{9}\) |
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{20}\) |
\(-\dfrac{1}{22}\) |
0 |
\(\dfrac{1}{26}\) |
数列の極限の問題である。
数列 \(\left\{\sin\dfrac{n\pi}{6}\right\}\) は振動するが，
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0}\)
次のように説明する。
どんな n に対しても，\(-1\leqq \sin\dfrac{n\pi}{6}\leqq 1\) が成り立つ。
したがって，\(-\dfrac{1}{n}\leqq \dfrac{1}{n}\sin\dfrac{n\pi}{6}\leqq \dfrac{1}{n}\)
これと，\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n}=0}\) より，
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n}\sin\dfrac{n\pi}{6}=0}\) がいえる。
こんな感じで，例を挙げていく。