131104 初版 131104 更新

sin, cos, tan を図形と見たのが 三角比。
だから,加法定理や倍角公式は 三角比の問題でも使われる。

三角比を弧度法で学習するのも大切だと思う。
だが,三角比は 0° から 180° までで十分
よく,三角比を拡張する際についでだから 360° まで やってしまえ。という考えもあるが,
私は後でもいいかなと思う。
早いうちに記号だけは読めるようにしておいて, 少し間をおいたらもう一度学びなおす。
それが,三角関数なのではないかと思う。
sin などがからむ不等式もそう。
\(\sin A=\dfrac{1}{2}\) となる A はいくらか。
という問いは,三角比でも必要となるが,
\(\sin A < \dfrac{1}{2}\) となる A の値の範囲は,という問いは, 関数と見てから後でもいいと思っている。

関数では次のことに注意する。
定義域,値域,増減,最大・最小

f(x) = sin x として,-π ≦ x ≦ 2π まで,有名な値を表にする。

x -π … \(-\dfrac{5}{6}\pi\) … \(-\dfrac{3}{4}\pi\) … \(-\dfrac{2}{3}\pi\) … \(-\dfrac{\pi}{2}\) … \(-\dfrac{\pi}{3}\) … \(-\dfrac{\pi}{4}\) … \(-\dfrac{\pi}{6}\) … 0
sin x 0 ↘ \(-\dfrac{1}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ -1 ↗ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{1}{2}\) ↗ 0
x 0 … \(\dfrac{\pi}{6}\) … \(\dfrac{\pi}{4}\) … \(\dfrac{\pi}{3}\) … \(\dfrac{\pi}{2}\) … \(\dfrac{2}{3}\pi\) … \(\dfrac{3}{4}\pi\) … \(\dfrac{5}{6}\pi\) … π
sin x 0 ↗ \(\dfrac{1}{2}\) ↗ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ 1 ↘ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(\dfrac{1}{2}\) ↘ 0
x π … \(\dfrac{7}{6}\pi\) … \(\dfrac{5}{4}\pi\) … \(\dfrac{4}{3}\pi\) … \(\dfrac{3}{2}\pi\) … \(\dfrac{5}{3}\pi\) … \(\dfrac{7}{4}\pi\) … \(\dfrac{11}{6}\pi\) … 2π
sin x 0 ↘ \(-\dfrac{1}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↘ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↘ -1 ↗ \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ↗ \(-\dfrac{1}{2}\) ↗ 0
関数では, 表を作る作業をするべきである。

もちろんグラフも描いたほうがいい。

sin のグラフ (SVG ファイル)  正弦曲線方眼 (SVG ファイル)  正弦曲線方眼 (PDF ファイル)
sin x は周期関数であり,周期は 2π である。
sin x はすべての実数に対して定義されている。
値域は -1 ≦ sin x ≦ 1
\(-\dfrac{\pi}{2}\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) で増加,
\(\dfrac{\pi}{2}\leqq x \leqq \dfrac{3}{2}\pi\) で減少する。
一般には n を整数として,
\(-\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}+2n\pi\) で増加,
\(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\leqq x \leqq \dfrac{3}{2}\pi+2n\pi\) で減少する。
分かったことを,書いてみるのがいい。
その際,母語だけでなく,数学の言葉すなわち数式で書いてみるのがいい。
例えば,
sin (x + 2π) = sin x   周期
sin (x + π) = - sin x   位相
sin (π - x) = sin x   対称性
sin (-x) = - sin x   対称性
sin (π - x) = -sin (π + x)   対称性
\(\sin (\dfrac{\pi}{2}-x) = \sin (\dfrac{\pi}{2}+x)\)   対称性
まとめるとこちら